El poder de la interacción entre la investigación básica y aplicada

Si la comunidad matemática se ha afanado por comprender la estructura de los números primos, las propiedades geométricas del espacio en que vivimos o el comportamiento de las ecuaciones que rigen los movimientos de las olas del agua, no ha sido solamente (o principalmente) por sus potenciales aplicaciones prácticas, pero estos descubrimientos tienen hoy una influencia enorme en nuestra vida diaria.

La investigación básica en matemáticas está detrás de gran parte de la tecnología que hoy usamos en nuestros teléfonos móviles u ordenadores, así como de los modelos climáticos que ayudan a predecir el tiempo y los modelos biológicos que nos ayudan a proponer nuevos tratamientos para enfermedades, por no hablar de la inteligencia artificial que ha irrumpido como fuerte protagonista en nuestras vidas, y un larguísimo etc. A modo de ejemplos, a continuación presento algunas aplicaciones importantes de la investigación básica en matemáticas —ni que decir tiene que es imposible cubrir ni una mínima parte de las mismas—, aludiendo a la situación de la investigación española en estos campos.

Entre las ramas más importantes de las matemáticas están el álgebra, la teoría de números, la geometría, la topología y el análisis matemático.

Los cimientos matemáticos de nuestras comunicaciones encriptadas

La investigación básica en álgebra y teoría de números es esencial en criptografía, que es, a su vez, pieza clave para el funcionamiento de la sociedad tal y como la conocemos, en tanto que permite la transmisión segura de información por internet, por ejemplo cuando usamos nuestros móviles u ordenadores para realizar compras o enviar mensajes. De hecho, uno de los sistemas criptográficos más ampliamente utilizados, el RSA (iniciales de sus creadores Rivest, Shamir y Adleman) se basa en la factorización de números enteros en factores primos y teoremas clásicos de teoría de números (de Euler y Fermat).

España ha tenido una escuela referente en teoría de números en torno a la figura de Pilar Bayer, catedrática en la Universidad de Barcelona y académica de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España, que ha sido pionera en esta área e instauró un conocido seminario en este campo hace ya varias décadas.

Otras partes del álgebra y la teoría de números tienen también importantes aplicaciones. Por ejemplo, una parte del álgebra llamada teoría de grupos juega un papel determinante en el estudio sistemático de simetrías de sistemas químicos y físicos. Dentro del álgebra, un figura española distinguida fue Germán Ancochea, nacido a principios del siglo pasado, y cuyo trabajo alcanzó relevancia internacional en una época en la que esto era infrecuente en nuestro país.

Herramientas para diseñar misiones espaciales y entender el ADN

En otras ocasiones surgen ramas de las matemáticas a partir de la física, pero se consolidan después como disciplinas propias de la matemática básica. Es el caso de la geometría simpléctica, que ha dado lugar a aplicaciones que van desde la robótica hasta el diseño óptimo de órbitas para las misiones espaciales. Uno de los pioneros en esta rama en España, en concreto en su conexión con la física, fue Pedro Luis García Pérez, de la Universidad de Salamanca.

La geometría simpléctica está estrechamente relacionada con otra área de las matemáticas básicas que también ha dado lugar a aplicaciones muy variadas: la mecánica geométrica. España cuenta con una potente escuela en esta rama; por ejemplo, Sonia Martínez que se especializó en esta disciplina (y temas relacionados como teoría de control) en el grupo de Manuel de León (y fue estudiante del propio De León), ahora aplica sus conocimientos a múltiples áreas de carácter aplicado como puede ser la coordinación de sistemas autónomos, en el departamento de Ingeniería Mecánica y Aeroespacial de la Universidad de California en San Diego.

La geometría tiene muchas otras aplicaciones. Por ejemplo, el gran matemático español Luis Santaló (nacido a principios del siglo pasado en Gerona) fue pionero en una rama conocida como geometría integral, y que tiene aplicaciones a la tomografía geométrica —que se ocupa de obtener información de objetos a través de sus proyecciones— y ésta tiene a su vez conexiones con la robótica y la estereología.

Por otro lado, analizar las deformaciones de objetos geométricos como esferas, nudos de pesca o lazos es el cometido de la topología. Aunque en principio es una de las ramas más teóricas de la investigación matemática básica, ha encontrado innumerables aplicaciones prácticas entre las que destaca el estudio del ADN, a través de una parte de la topología conocida como teoría de nudos, y en la que otro gran matemático español, José María Montesinos, ha sido pionero. En topología, España tiene también un grupo importante enfocado en sistemas dinámicos, que fundó José M.R. Sanjurjo en la Universidad Complutense. Los sistemas dinámicos tienen muchas aplicaciones también, por ejemplo a entender cómo crece una determinada población.

Ecuaciones que modelan y predicen fenómenos naturales y sociales

Una de las ramas de las matemáticas quizá más omnipresentes en nuestro mundo diario son las ecuaciones diferenciales (pueden considerarse parte del análisis matemático), que permiten modelizar fenómenos de todo tipo. Desde la economía o las finanzas hasta la biología, la medicina, la física, la química y la ingeniería, el estudio de estas ecuaciones desde el punto de vista abstracto ha hecho posibles numerosos avances a la hora de comprender y predecir la evolución de los fenómenos fundamentales de todas estas áreas. Por ejemplo, el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford tiene un centro de biología matemática en cuya temática investigadora se incluye el estudio de enfermedades, usando entre otras técnicas, las ecuaciones diferenciales estocásticas. España tiene una impresionante escuela en diferentes aspectos de las ecuaciones diferenciales que incluye, entre otros muchos, a Ildefonso Díaz, Juan Luis Vázquez, Luis Vega y Enrique Zuazua.

Existen numerosos tipos de ecuaciones diferenciales para las que no se sabe encontrar una solución explícita, y de cara a utilizarlas en el mundo real se han desarrollado métodos para aproximar las posibles soluciones. El análisis numérico nos ayuda en esta tarea, en la que España tiene varios investigadores distinguidos, por ejemplo el expresidente de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Jesús María Sanz-Serna, ha sido pionero en integración geométrica (importante en aplicaciones). Asimismo, Guillermo López-Lagomasino y Francisco Marcellán han contribuido notablemente a la teoría de la aproximación de funciones con aplicaciones a ecuaciones diferenciales.

El análisis armónico y el análisis de Fourier son otras subáeras del análisis matemático, de considerable aplicabilidad. Por ejemplo, para estudiar el procesamiento de señales, que a su vez es clave para el funcionamiento de los teléfonos móviles o de los sistemas de radar, así como el análisis o procesamiento y toma de imágenes en medicina. Un famoso resultado teórico sobre procesamiento de señales es el Teorema de Nyquist-Shannon, que tiene aplicaciones prácticas fundamentales a la digitalización de señales analógicas, por ejemplo la voz (y por tanto se usa cada vez que hablamos por teléfono). En España contamos y hemos contado con influyentes investigadores en análisis armónico y análisis de Fourier, entre los que se incluyen Antonio Córdoba y el ya fallecido José Luis Rubio de Francia.

También dentro del paraguas del análisis matemático, encontramos el análisis funcional, con destacadas figuras españolas como Fernando Bombal y Manuel Valdivia. Matemáticos como David Pérez-García (estudiante del propio Bombal) han aplicado su formación en análisis funcional a la teoría de la información cuántica. Las aplicaciones de dicha teoría son, en general, a tecnologías del futuro, pero hay algunas vías avanzadas, por ejemplo en criptografía y metrología (ciencia de las mediciones). En el caso de la criptografía, la tecnología que ya se está usando en la práctica son los generadores seguros de números aleatorios, que son uno de los ingredientes más delicados y fundamentales de la criptografía.

Descubrimientos de frontera en la intersección entre disciplinas

La investigación básica en matemáticas no se limita a proporcionar herramientas a las demás disciplinas, sino que en ocasiones también se nutre de los datos empíricos que proceden de otros campos. Esto ocurre en la teoría de la elasticidad, materia que estudia las conexiones existentes entre las distintas fuerzas aplicadas a un objeto y las deformaciones o desplazamientos que provocan. Además de incorporar técnicas de matemáticas básicas como los métodos variacionales, la teoría del potencial o el análisis de Fourier, esta disciplina se nutre también de datos empíricos, en una fascinante interacción entre teoría y experimentación.

De hecho, surgen cada vez más áreas de investigación en las que las matemáticas se combinan de un modo interdisciplinar con ideas provenientes de otros campos, resultando en descubrimientos de vanguardia. Es el caso de la neurociencia computacional, o neurociencia matemática, que emplea técnicas avanzadas de matemáticas e informática (ciencias de la computación) para estudiar las leyes y patrones que rigen la estructura del sistema nervioso, a través por ejemplo del desarrollo e implementación computacional de modelos matemáticos. Todo ello en un contexto fértil de investigación interdisciplinar, donde se combinan teoría y experimentos e interactúan expertos de múltiples áreas.

Se da con frecuencia que comprender los fenómenos más complejos de nuestro mundo requiere establecer puentes entre distintas ramas del conocimiento, tanto de investigación básica como de aplicada. Incluso dentro de las propias matemáticas, las fronteras entre las diferentes ramas son muchas veces difusas, y es en esas fronteras donde casi siempre se encuentran las teorías y problemas más interesantes. En este sentido, el gran matemático alemán Jürgen Moser ya comentaba en una conferencia plenaria en el congreso de matemáticas más importante del mundo (ICM) en Berlín en 1998 que le parecía que “no tiene sentido discutir si es mejor solucionar problemas complicados, construir estructuras abstractas, o trabajar en aplicaciones”.

Pienso que, por todo ello, deberíamos mantener una mente abierta. La investigación básica tiene potentes aplicaciones y las aplicaciones inspiran mucha investigación básica, en matemáticas y también en las otras ciencias. Puede ser difícil predecir hoy lo que va a ser esencial para mañana, y por tanto debemos apoyar y fomentar tanto la investigación básica como la investigación aplicada. Ambas son imprescindibles e interaccionan de maneras fascinantes, y muchas veces impredecibles.